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Acrithène

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Acrithène est doctorant en finance, auteur d'un blog où il tente de combler le fossé séparant la science économique du grand public.

Le Blog d'Acrithène

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Ponzi de la répartition : une preuve mathématique

Audience de l'article : 4899 lectures
Nombre de commentaires : 10 réactions
Cet article propose une preuve mathématique que le système de retraite par répartition est une chaîne de ponzi, c’est-à-dire qu’il relève du même procédé financier que l’arnarque de B. Madoff. 

A quelques occasions, je vous ai indiqué que la retraite par répartition était une chaîne de Ponzi, et que ce fait relevait des mathématiques et donc dépassait toute analyse sur la conjoncture ou la démographie. C’est-à-dire qu’un mathématicien dans sa tour d’ivoire, ne connaissant strictement rien au monde extérieur, pouvait dès le début montrer que ce système était impossible, et ce hors de toute considération concrète. Et d’ailleurs, les économistes le savaient.

J’imagine que certains de mes lecteurs sont déjà sceptiques quant à l’usage des mathématiques en économie sans considérations pour le concret. Je leur répondrais que quelque chose qui respecte les mathématiques n’est pas nécessairement réel (et donc ni digne d’intérêt). En revanche, quelque chose qui ne respecte pas les mathématiques ne peut tout simplement pas être réel.



Valeur future et valeur présente

Pour comprendre ma démonstration, il est nécessaire de comprendre ce qu’est une valeur future, et réciproquement une valeur présente. La valeur dans un an d’un euro aujourd’hui, correspond au nombre d’euros que vous obtiendriez en échangeant votre euro d’aujourd’hui. Concrètement, vous donneriez un euro aujourd’hui, et recevriez une somme dans un an. La différence entre les deux est définie par le taux d’intérêt, i, sur la période. Ainsi :

1  {euro}_{ 0} rightarrow 1 times (1+i)  {euro}_{ 1}

Cela signifie que si vous renoncez à consommer 1€ tout de suite, vous libérez un pouvoir d’achat un peu plus grand que 1€ dans un an.

Et inversement

{1 over (1+i)}  {euro}_{ 0} leftarrow 1  {euro}_{ 1}

Ce qui implique que si vous renoncez à dépenser 1€ dans un an, cela vous permet de dépenser un peu moins de 1€ en plus aujourd’hui.

De même, si vous aviez échangé des euros actuels, contre des euros de dans t périodes, vous auriez dû composer les intérêts, pour réaliser le même type de raisonnement. Vous auriez :

Par transfert de pouvoir d’achat du présent vers le futur :

1  {euro}_{ 0} rightarrow 1 times (1+i)^t  {euro}_{ t}

et, du futur vers le présent :

{1 over (1+i)^t}  {euro}_{ 0} leftarrow 1  {euro}_{ t}

Ainsi la valeur actuelle d’une dépense à une période t, est égale à :

D_t over {(1+i)^t}

Ce qui signifie que si vous placez cette somme aujourd’hui sur un compte en banque, vous aurez à la période t exactement le montant nécessaire pour réaliser votre dépense D_t

Ce raisonnement permet d’établir la « contrainte budgétaire intertemporelle » d’un agent économique.

{ sum limits_{t=0}^{infty} { {D_{t} } over {(1+i)^t} }} le { sum limits_{t=0}^{infty} { R_{t} over {(1+i)^t} }}

Cette contrainte traduit le fait qu’à une période t, vous n’êtes pas obligé d’équilibrer vos dépenses (D_t ) et vos revenus (R_t ), car vous pouvez par l’épargne déplacer vos revenus présents vers le futur (avec le gain d’un taux d’intérêt) ou déplacer des revenus futurs vers le présent par l’emprunt (avec la perte du taux d’intérêt).

Vous respectez votre contrainte budgétaire intertemporelle si la valeur actuelle de vos dépenses présentes et futures est inférieure ou égale à la valeur actuelle de vos revenus présents et futurs. C’est la condition de votre solvabilité à long terme.

La retraite par répartition

La condition de solvabilité

Dans les modèles macroéconomiques, la contrainte budgétaire intertemporelle a un nom croustillant. On l’appelle « no ponzi game condition ». Dans le cas de la retraite par répartition, cette condition s’écrit :

{ sum limits_{t=0}^{infty} { {P_{t} } over {(1+i)^t} }} le { sum limits_{t=0}^{infty} { C_{t} over {(1+i)^t} }}

C’est-à-dire que la valeur présente de l’ensemble des cotisations présentes et futures C_t  couvre la valeur présente de l’ensemble des pensions présentes et futures P_t . Cela autorise le système à être parfois en déficit (et donc de perdre le paiement d’intérêts sur une dette) et parfois à constituer des réserves (et donc de dégager du rendement sur leur placement). Mais si cette condition n’est pas remplie, le système n’est pas financièrement stable, c’est alors un ponzi qui a besoin d’apports extérieurs pour survivre.

Les financiers connaissent quant à eux ces sommes sous les termes « somme des flux actualisés » ou, en anglais, « discounted cash flows ».

Preuve du Ponzi

Démontrons désormais qu’il s’agit effectivement d’un Ponzi.

Le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne (sans quoi il n’a aucun intérêt, vu qu’il suffirait d’épargner les cotisations). Si on note r le rendement de la répartition, et que nous rappelons que est le taux d’intérêt sur l’épargne, on a donc :

i le r

D’où :

C_{t-1} times (1+i) le C_{t-1} times (1+r)

Ce qui signifie qu’il a été plus profitable à la période t-1 de placer ses cotisations dans le système par répartition que de les épargner. Par ailleurs, par définition du rendement r du système par répartition, on a :

P_{t}= C_{t-1} times (1+r)

C’est à dire que la différence entre ce que touchent les retraités en pension en t et ce qu’ils avaient versé en cotisations en t-1 est expliqué par le rendement du système. Si le système est favorable à chaque génération, on a donc

forall t,  C_{t-1} times (1+i) le P_{t}

Ce qui implique :

forall t, { {C_{t-1} times (1+i) } over {(1+i)^t} } le { P_{t} over {(1+i)^t} }

Donc par sommation sur toutes les générations cotisantes, on obtient :

{ sum limits_{t=1}^{infty} { {C_{t-1} times (1+i) } over {(1+i)^t} }} le { sum limits_{t=1}^{infty} { P_{t} over {(1+i)^t} }}

En simplifiant la somme de gauche, on déduit :

{ sum limits_{t=1}^{infty} { {C_{t-1} } over {(1+i)^{t-1}} }} le { sum limits_{t=1}^{infty} { P_{t} over {(1+i)^t} }}

Et enfin, par changement de variable sur la somme de gauche, on a :

{ sum limits_{t=0}^{infty} { {C_{t} } over {(1+i)^t} }} le { sum limits_{t=1}^{infty} { P_{t} over {(1+i)^t} }}

Or on sait que les premiers pensionnés ont reçu une pension positive, c’est-à-dire :

P_0 0 " title="P_0 > 0 " class="latex" style="height: auto; border-style: none; vertical-align: middle; max-width: 100%;" />

Donc on obtient une inégalité stricte en ajoutant P_0  à droite :

{ \sum \limits_{t=0}^{\infty} { {C_{t} } \over {(1+i)^t} }} < { \sum \limits_{t=1}^{\infty} { P_{t} \over {(1+i)^t} } + P_0}

En réintroduisant les premières pensions dans la somme, on obtient finalement :

{ \sum \limits_{t=0}^{\infty} { {C_{t} } \over {(1+i)^t} }} < { \sum \limits_{t=0}^{\infty} { P_{t} \over {(1+i)^t} }}

C’est-à-dire une relation qui ne respecte pas la « no ponzi game condition ». La valeur actuelle des recettes est inférieure à celle des dépenses.

Concrètement, que cela veut-il dire ? Cela signifie qu’il est impossible que le système délivre un rendement strictement supérieur au taux d’intérêt pour chaque génération. Cela implique aussi, que si une génération a obtenu du système un rendement supérieur à celui de l’épargne, au moins une autre génération obtiendra un rendement inférieur à l’épargne. Il s’agit, vis-à-vis de l’épargne, d’un jeu à somme nulle. Cela signifie que si une génération a bénéficié du système, une autre seranécessairement perdante. Or, ceci est toujours le cas, car à l’initialisation d’un système par répartition, une génération reçoit la première des pensions, sans avoir versé de cotisations auparavant (vu que le système n’existait pas) : elle obtient donc un rendement infini.
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10 commentaires

  • Lien vers le commentaire Helios mercredi, 12 décembre 2012 11:25 Posté par helios

    Il est bien évident que le principal avantage de la répartition est de pouvoir adapter le montant des pensions à la conjoncture actuelle et au futur prévu. C'est un système souple. Il n'y a pas comme le prétend l'article de promesse précise de retraite future, sinon celle d'un revenu juste compte tenu de la conjoncture.
    Contrairement à l'épargne qui peut très bien disparaitre d'un seul coup, totalement ou partiellement, comme en ont fait l'expérience certains retraités américains.

  • Lien vers le commentaire SIGSEGV mercredi, 12 décembre 2012 09:26 Posté par sigsegv

    Un système de retraite par répartion est viable si actif circulant > passif circulant. Si à un instant donné le principe comptable n'est plus vrai; vous ajustez ces paramètres pour qu'ils le redeviennent.

  • Lien vers le commentaire Guéguen mercredi, 12 décembre 2012 09:03 Posté par Breizh-Tonio

    Ok c'est plus clair.
    Vous dites : " Donc, logiquement, pour que ce ne soit pas un Ponzi, il faut que son rendement soit inférieur à l'épargne. " et également  "le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne (sans quoi il n’a aucun intérêt, vu qu’il suffirait d’épargner les cotisations)."


    Pour moi c'est cet enchainement logique qui peut être remis en cause.  
    Si on considère que le rendement est égal ou inférieur à l'épargne (et que ce n'est donc pas un ponzi), le système peut malgré tout avoir un intérêt aux yeux des politiques: celui de transférer du pouvoir d'épargne des plus "riches" vers les plus "pauvres". 

    J'ai l'impression que c'est dans cet esprit que le système a été créé et qu'il n'a jamais été question de présenter ce système comme offrant un meilleur rendement que l'épargne. 
    Le système a d'ailleurs été mis en place sous le régime de Vichy par René Bellin, Ministre du Travail et ancien dirigeant de la CGT (source wiki, article retraite en France). 

  • Lien vers le commentaire SIGSEGV mercredi, 12 décembre 2012 07:41 Posté par sigsegv

    "Un ponzi possède aussi l'équilibre que vous décrivez, les anciens sont payés avec les nouveaux. C'est la nature du ponzi. Ce qui fait qu'un ponzi est en équilibre est l'apport extérieur, c'est-à-dire que son équilibre repose sur l'apport d'éléments extérieurs au système. Le ponzi ne peut pas être éternel s'il grandit plus rapidement que sa base, sans quoi il finit par ne plus pouvoir se nourrir."

    Aussi incroyable que cela puisse paraître; dans un système de retraite par répartition les gens sortent du système quand ils meurent ! Donc on ne les paye plus et lorqsqu'ils sortent on ne leur rembourse pas leur cotisation !

    C'est donc une logique de flux et non de stock. Il s'agit ni plus ni moins qu'une gestion de tréso équivalente à un cash flow de commandes entre les rentrées (créances clientes) et les sorties (paiement fournisseurs).


    "il ne sert à rien vu que l'épargne lui est supérieur"

    demandez à un smicard s'il peut épargner pour sa retraite.

  • Lien vers le commentaire Acrithène mardi, 11 décembre 2012 21:54 Posté par acrithène

    Bonjour,

    Quelques réponses aux commentaires.

    @Sigsegv

    Un ponzi possède aussi l'équilibre que vous décrivez, les anciens sont payés avec les nouveaux. C'est la nature du ponzi. Ce qui fait qu'un ponzi est en équilibre est l'apport extérieur, c'est-à-dire que son équilibre repose sur l'apport d'éléments extérieurs au système. Le ponzi ne peut pas être éternel s'il grandit plus rapidement que sa base, sans quoi il finit par ne plus pouvoir se nourrir.

    La gestion de trésorerie repose sur les intérêts, les intérêts ne reposent pas sur un ponzi car quand vous semer une graine, elle en devient deux. C'est-à-dire qu'il porte son rendement en lui-même, et non dans l'arrivée de nouvelles graines venues de l'extérieure à la période suivante.

    @Breizh-Tonio

    "le déséquilibre intergénérationel provient bien de l'évolution démographique."

    C'est le principe du Ponzi, offrir un rendement sur l'évolution du nombre de cotisants.

    @Sigsegv

    L'hypothèse d'un modèle n'a pas à être vraie. Les gens ne comprennent pas les maths.

    Vous me diriez que le théorème de Pythagore est faux car le triangle que vous regardez n'est pas rectangle.

    Non, ma démonstration vous dit qu'à supposer que le rendement de la répartition est supérieure à celui de l'épargne, alors c'est un Ponzi.

    Donc, logiquement, pour que ce ne soit pas un Ponzi, il faut que son rendement soit inférieur à l'épargne.

    Donc, il ne sert à rien vu que l'épargne lui est supérieur ! C'est ce qui est marqué dans la conclusion, c'est ce qu'on appelle une preuve par l'absurde.

  • Lien vers le commentaire SIGSEGV mardi, 11 décembre 2012 18:57 Posté par sigsegv

    Le système par répartition "pur" n'est pas un ponzi puisqu'il y a un point d'équilibre (ce qu'il n'y a pas dans un ponzi); vous avez un buffer entre entrées (cotisations versées) et sorties (pensions payées); sachant que ce point d'équilibre varie dynamiquement; si le système se déséquilibre; il vous suffit d'ajuster les variables d'entrées pour revenir à l'équilbre (baisse ou plafonnement des pensions; retard de l'age de la mise en retraite).

    C'est basiquement une logique proche de celle de la gestion de trésorerie d'entreprise.

  • Lien vers le commentaire Guéguen mardi, 11 décembre 2012 17:14 Posté par Breizh-Tonio

    D'accord avec sigsev, l'hypothèse "Le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne" me semble fausse.


    Je ne connais pas très bien le fonctionnment du système de retraite par répartition mais il me semble que "répartition" s'entend des plus "riches" vers les plus "pauvres". Donc certains ont un rendement supérieur à celui de l'épargne individuelle et les autres un rendement inférieur, le rendement global du système devant être globalement égale à celui de l'épargne individuelle.

    Or phase d'initialisation, si on considère que le rendement global du système de retraite par répartition est égale à celui du marché, le déséquilibre intergénérationel provient bien de l'évolution démographique.



    PS : je ne soutiens pas le système de retraite par répartition ! :)     

  • Lien vers le commentaire SIGSEGV mardi, 11 décembre 2012 15:50 Posté par sigsegv

    Ce qu'il y a de bien c'est qu'on a pas à lire vos calculs puisque le prémisse de départ.

    "Le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne"

    est faux.

  • Lien vers le commentaire zoulou2 mardi, 11 décembre 2012 13:54 Posté par zoulou2

    Excellent, c'est la raison pour laquelle je me suis expatrie, il y a plus de 15 ans, j;avais compris a l'epoque sans les formules mathematiques, que je cotisais pour des prunnes, et qu'il valait mieux que j'ailles faire mon beurre ailleurs.